สรุปพื้นฐาน “จำนวนเชิงซ้อน”

     “จำนวนเชิงซ้อน” เป็นอีกบทเรียนที่น่าจะเข้าใจยากสำหรับน้อง ๆ หลายคน แต่ก็เป็นบทเรียนที่สำคัญและไม่ควรละเลย บทความนี้พี่ ๆ TUTOR VIP จึงจะมาสรุปพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อนแบบย่อยง่าย เพื่อให้น้อง ๆ เข้าใจเรื่องนี้กันได้มากขึ้น จะมีเนื้อหาอะไรบ้างตามไปดูกันเลย

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• จำนวนเชิงซ้อน คืออะไร?
• การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน
• การบวกของจำนวนเชิงซ้อน
• การบวกลบของจำนวนเชิงซ้อน
• การคูณของจำนวนเชิงซ้อน
• การหารของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน คืออะไร?

    “จำนวนเชิงซ้อน” (Complex Number)  คือ จำนวนที่เขียนในได้ในรูป  เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง และ  หรือ 

    จำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้นจากความพยายามของนักคณิตศาสตร์ในการแก้สมการ    ซึ่งเป็นจำนวนจริงไม่สามารถหาจํานวนจริงใด ๆ ที่แทนใน x แล้วทําให้สมการเป็นจริงได้ 

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

• เรียก a ว่า ส่วนจริง (Real Part) ของ z เขียนแทนด้วย Re(Z)
• เรียก b ว่า ส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) ของ z เขียนแทนด้วย Im(Z)
• ถ้า Im(Z)=0  แล้ว z เป็นจำนวนจริง ถ้า Re(Z)=0 และ Im(Z) ไม่เท่ากับ 0 แล้ว z จะเป็นจำนวนจินตภาพแท้

ตัวอย่างเช่น 

จะได้ว่า -2 คือส่วนจริง และ 1 คือส่วนจินตภาพ หรือเขียนได้ว่า (-2,1)

จะได้ว่า 3 คือส่วนจริง และ 2 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า 3,2

1.การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน 

เมื่อกำหนดให้  (a,b)  และ  (c,d)   เป็นจํานวนเชิงซ้อนสองจํานวน                   

(a, b)  =  (c, d)  ก็ต่อเมื่อ  a = c  และ  b = d     

2.การบวกของจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อกำหนดให้  (a,b)  และ  (c,d)   เป็นจํานวนเชิงซ้อนสองจํานวน                                  

(a, b) + (c, d)   =   (a + c, b + d)    

การบวกจำนวนเชิงซ้อน คือ การนำส่วนจริงตัวหน้าและส่วนจินตภาพตัวหลังของทั้งสองจำนวนมาบวกกัน     

ตัวอย่าง

จงหาผลบวกของจำนวนเชิงซ้อน (8, -4) และ (2, 10)

วิธีทำ

(8, -4) + (2, 10) = (8+2), (-4+10)

                         = (10, 6)

3.การลบของจำนวนเชิงซ้อน 

บทนิยาม 

(a , b)- (c , d) = (a , b) + (-c , -d)

ใช้หลักการคล้ายกับการบวกจำนวนเชิงซ้อน คือการนำส่วนจริงมาลบกับส่วนจริง 

และนำส่วนจินตภาพมาลบกับส่วนจินตภาพ

ตัวอย่าง

จงหาผลลบของจำนวนเชิงซ้อน  (-3, 11)- (-7 , -19)

วิธีทำ

(-3,11) – (-7,-19) = (-3+7,11+19)

                          =  (4, 30)

4.การคูณของจำนวนเชิงซ้อน

ใช้สมบัติการแจกแจงคล้ายกับการคูณพหุนาม คือตัวหน้าคูณตัวหน้า ตัวหน้าคูณตัวหลัง ตัวหลังคูณตัวหน้า ตัวหลังคูณตัวหลัง 

เมื่อกำหนดให้  (a,b)  และ  (c,d)   เป็นจํานวนเชิงซ้อนสองจํานวน        

(a, b)(c, d)     =  (ac – bd, ad + bc)

ตัวอย่าง

จงหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (8, -4) และ (2, 10)

วิธีทำ

(8, -4) (2, 10) = (8×2) – (-4×10), (8×10+(-4)x2)

                         = (56, 72)

5.การหารของจำนวนเชิงซ้อน 

บทนิยาม 

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ใด ๆ ซึ่ง จะได้ว่า

โดยเขียน   แทน

ตัวอย่าง

จงหาผลหารของจำนวนเชิงซ้อน

     นี่เป็นเพียงเนื้อหาบางส่วนของจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น เนื่องจากเป็นเรื่องที่มีเนื้อหาค่อนข้างมาก ทำให้หลายคนอาจถอดใจไปกับบทเรียนนี้ได้ แต่พี่ ๆ เชื่อว่าหากน้อง ๆ ทบทวนพื้นฐานจนแม่น และฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอ จำนวนเชิงซ้อนจะไม่ยากเกินความพยายามของเราแน่นอน

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand