เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• ระบบเลขฐาน คืออะไร?
• การแปลงเลขฐานอื่น ๆ เป็นเลขฐานสิบ

ระบบเลขฐาน คืออะไร?

    “ระบบเลขฐาน” คือ  กลุ่มข้อมูลที่มีจำนวนหลัก (Digit) ตามชื่อของเลขฐานนั้น ๆ ประกอบด้วย

• ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System) ประกอบด้วยตัวเลข 2 ตัว คือ 0 และ 1 
• ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System) ประกอบด้วยตัวเลข 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
• ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System) ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
• ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal Number System) ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และตัวอักษร 6 ตัว คือ A, B, C, D, E, F (เมื่อ A = 10,  B = 11, C=12, D = 13, E=14, F=15 ในฐานสิบ)

 

ตารางเปรียบเทียบจำนวนในระบบเลขฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก

เลขฐานสิบ	เลขฐานสอง	เลขฐานแปด	เลขฐานสิบหก
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

 

    การเขียนระบบเลขฐาน ต้องระบุชื่อฐานกำกับไว้ท้ายสุดของกลุ่มเลขนั้นๆ เสมอ เพื่อป้องกันความสับสน  ยกเว้น ระบบเลขฐานสิบ ซึ่งใช้งานกันอย่างแพร่หลาย ส่วนในระบบเลขฐานอื่น ๆ การอ่านระบบเลขฐาน สามารอ่านเรียงตามตัวเลข  ยกเว้นเลขฐานสิบที่ อ่านค่าของตัวเลขในแต่ละหลักได้เลย เช่น

• 1001_{2}  หมายถึง  เลขฐานสอง   อ่านว่า  หนึ่ง-ศูนย์-ศูนย์-หนึ่ง
• 5163_{8} หมายถึง  เลขฐานแปด    อ่านว่า  ห้า-หนึ่ง-หก-สาม

 

การแปลงเลขฐานอื่น ๆ เป็นเลขฐานสิบ

การเปลี่ยนเลขฐานอื่น ๆ เป็นเลขฐานสิบ มีดังนี้ 

1. การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ

    สามารถทำได้โดยวิธีการคูณค่าประจำหลักคือ 2^{n}  กับค่าสัมประสิทธิ์และนำผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณในแต่ละหลักมารวมกัน จะได้เป็นค่าของเลขฐานสิบ

 

2. การแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ        

     สามารถทำได้โดยวิธีการคูณค่าประจำหลักคือ 8^{n}  กับค่าสัมประสิทธิ์และนำผลลัพธ์ที่ได้จากการ คูณในแต่ละหลักมารวมกัน จะได้เป็นค่าของเลขฐานสิบ

 

3. การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสิบ      

     สามารถทำได้โดยวิธีการคูณค่าประจำหลักคือ 16^{n}  กับค่าสัมประสิทธิ์และนำผลลัพธ์ที่ได้จาก การคูณในแต่ละหลักมารวมกัน จะได้เป็นค่าของเลขฐานสิบ

 

     เป็นอย่างไรกันบ้าง หวังว่าบทความนี้จะเป็นประโยชน์ และช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจเรื่อง “ระบบเลขฐาน” กันมากขึ้นนะ

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand

 

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• ลำดับ คืออะไร?
• ลำดับเลขคณิต คืออะไร?
• อนุกรม คืออะไร?
• อนุกรมเลขคณิต คืออะไร?

ลำดับ คืออะไร?

    “ลำดับ” คือ การนำตัวเลขมาเรียงอย่างเป็นลำดับ เช่น 8, 3, 4, 1, 3, 12 โดยเรียกเลขในแต่ละลำดับว่า “พจน์” เช่น ลำดับ 8, 3, 4, 1, 3, 12 พจน์ที่ 1 คือ 8, พจน์ที่ 2 คือ 3, พจน์ที่ 3 คือ 4 ตามลำดับ เป็นต้น

    โดยนิยามตัวแปร a แทนแต่ละพจน์ในลำดับ เช่น 

• พจน์ที่ 1 แทนด้วย a_{1}
• พจน์ที่ 2 แทนด้วย a_{2}

…..

• พจน์ที่ n แทนด้วย a_{n}

พจน์ที่มี … ต่อท้าย ไม่มีที่สิ้นสุด เรียกว่า “ลำดับอนันต์”

เช่น 1,2,3,4,… เป็นลำดับอนันต์

แต่ถ้าในลำดับมีจำนวนพจน์ต่อท้ายจะเรียกว่า “ลำดับจำกัด”

เช่น 1, 2, 3, 4 เป็นลำดับจำกัด

      1, 2, 3,…, 1000 เป็นลำดับจำกัด

เป็นต้น

ลำดับเลขคณิต คืออะไร?

    “ลำดับเลขคณิต” คือ ลำดับที่เพิ่มหรือลดลงอย่างคงที่โดยการบวก เช่น

• 4, 1, -2, -5, -8
• 1, 1.5, 2, 2.5, 3 

แต่ 2, 4, 8, 16 ไม่ถือว่าเป็นลำดับเลขคณิตเพราะมีการบวกเพิ่มไม่คงที่

โดยเรียกค่าคงที่ที่นำมาบวกว่า “ผลต่างรวม” แทนด้วยสัญลักษณ์ d เช่น

• 5, 8, 11, 14     →    d=3
• 5, 5, 5, 5     →    d=0

สูตรที่ควรจำ สูตรทั่วไปของลำดับเลขคณิต

อนุกรม คืออะไร?

    “อนุกรม” คือ การนำตัวเลขในลำดับมาบวกกัน เช่น

ถ้ามีลำดับ 1, 2, 3, 4, 5  อนุกรมของลำดับนี้คือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

ปกติโจทย์จะไม่ได้ให้บวกทุกตัว ส่วนใหญ่มักจะให้บวกแค่ “n” ตัวแรก

เช่น ในอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + 5 

• ผลบวก 3 ตัวแรกของอนุกรมนี้คือ 1 + 2 + 3 = 6
• ผลบวก 4 ตัวแรกของอนุกรมนี้คือ 1 + 2 + 3 + 4 = 10
• ผลบวก 1 ตัวแรกของอนุกรมนี้คือ 1

โดยนิยมใช้สัญลักษณ์  Sn แทนผลบวก n ตัวแรกของอนุกรม

ดังนั้น ในอนุกรมนี้จะได้ว่า เป็นต้น

 

อนุกรมเลขคณิต คืออะไร?

    “อนุกรมเลขคณิต” คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับเลขคณิต เช่น

• 5 + 8 + 11 + … + 38
• 16 + 13 + 10 + … + 4

เป็นต้น

    สมบัติที่สำคัญของลำดับเลขคณิต คือ สามารถ “จับคู่ผลบวกให้เท่ากันได้” เช่น

10 + 12 + 14 + … + 32 + 34 + 36  =  (10 + 36) + (12 + 34) + (14 + 32) + …

                                                      = 46 + 46 + 46 + …

    และจากสมบัติดังกล่าวทำให้มีสูตรที่ควรจำในการหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 2 สูตร ดังนี้

s_{n}  คือ ผลบวกของอนุกรม

a_{1} คือ พจน์แรก

n คือ จำนวนพจน์ที่นำมาบวก

d  คือ ผลต่างร่วมในลำดับเลขคณิต

 

 

    ลำดับและอนุกรมเป็นอีกเรื่องที่ออกสอบบ่อย ดังนั้น น้อง ๆ จึงไม่ควรพลาดบทนี้ หวังว่าบทความนี้จะเป็นประโยชน์ และช่วยให้ทุกคนเข้าใจลำดับและอนุกรมกันมากขึ้นนะ

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand

 

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• จำนวนเชิงซ้อน คืออะไร?
• การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน
• การบวกของจำนวนเชิงซ้อน
• การบวกลบของจำนวนเชิงซ้อน
• การคูณของจำนวนเชิงซ้อน
• การหารของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน คืออะไร?

    “จำนวนเชิงซ้อน” (Complex Number)  คือ จำนวนที่เขียนในได้ในรูป  เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง และ  หรือ 

    จำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้นจากความพยายามของนักคณิตศาสตร์ในการแก้สมการ    ซึ่งเป็นจำนวนจริงไม่สามารถหาจํานวนจริงใด ๆ ที่แทนใน x แล้วทําให้สมการเป็นจริงได้ 

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

• เรียก a ว่า ส่วนจริง (Real Part) ของ z เขียนแทนด้วย Re(Z)
• เรียก b ว่า ส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) ของ z เขียนแทนด้วย Im(Z)
• ถ้า Im(Z)=0  แล้ว z เป็นจำนวนจริง ถ้า Re(Z)=0 และ Im(Z) ไม่เท่ากับ 0 แล้ว z จะเป็นจำนวนจินตภาพแท้

 

ตัวอย่างเช่น 

• 

จะได้ว่า -2 คือส่วนจริง และ 1 คือส่วนจินตภาพ หรือเขียนได้ว่า (-2,1)

• 

จะได้ว่า 3 คือส่วนจริง และ 2 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า 3,2

 

1.การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน 

เมื่อกำหนดให้  (a,b)  และ  (c,d)   เป็นจํานวนเชิงซ้อนสองจํานวน                   

(a, b)  =  (c, d)  ก็ต่อเมื่อ  a = c  และ  b = d     

2.การบวกของจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อกำหนดให้  (a,b)  และ  (c,d)   เป็นจํานวนเชิงซ้อนสองจํานวน                                  

(a, b) + (c, d)   =   (a + c, b + d)    

การบวกจำนวนเชิงซ้อน คือ การนำส่วนจริงตัวหน้าและส่วนจินตภาพตัวหลังของทั้งสองจำนวนมาบวกกัน     

ตัวอย่าง

จงหาผลบวกของจำนวนเชิงซ้อน (8, -4) และ (2, 10)

วิธีทำ

(8, -4) + (2, 10) = (8+2), (-4+10)

                         = (10, 6)

3.การลบของจำนวนเชิงซ้อน 

บทนิยาม 

(a , b)- (c , d) = (a , b) + (-c , -d)

ใช้หลักการคล้ายกับการบวกจำนวนเชิงซ้อน คือการนำส่วนจริงมาลบกับส่วนจริง 

และนำส่วนจินตภาพมาลบกับส่วนจินตภาพ

ตัวอย่าง

จงหาผลลบของจำนวนเชิงซ้อน  (-3, 11)- (-7 , -19)

วิธีทำ

(-3,11) – (-7,-19) = (-3+7,11+19)

                          =  (4, 30)

4.การคูณของจำนวนเชิงซ้อน

ใช้สมบัติการแจกแจงคล้ายกับการคูณพหุนาม คือตัวหน้าคูณตัวหน้า ตัวหน้าคูณตัวหลัง ตัวหลังคูณตัวหน้า ตัวหลังคูณตัวหลัง 

เมื่อกำหนดให้  (a,b)  และ  (c,d)   เป็นจํานวนเชิงซ้อนสองจํานวน        

(a, b)(c, d)     =  (ac – bd, ad + bc)

ตัวอย่าง

จงหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (8, -4) และ (2, 10)

วิธีทำ

(8, -4) (2, 10) = (8×2) – (-4×10), (8×10+(-4)x2)

                         = (56, 72)

5.การหารของจำนวนเชิงซ้อน 

บทนิยาม 

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ใด ๆ ซึ่ง จะได้ว่า

โดยเขียน   แทน

ตัวอย่าง

จงหาผลหารของจำนวนเชิงซ้อน

     นี่เป็นเพียงเนื้อหาบางส่วนของจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น เนื่องจากเป็นเรื่องที่มีเนื้อหาค่อนข้างมาก ทำให้หลายคนอาจถอดใจไปกับบทเรียนนี้ได้ แต่พี่ ๆ เชื่อว่าหากน้อง ๆ ทบทวนพื้นฐานจนแม่น และฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอ จำนวนเชิงซ้อนจะไม่ยากเกินความพยายามของเราแน่นอน

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand

 

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• เมทริกซ์ คืออะไร?
• ตัวอย่างของเมทริกซ์
• การเขียนเมทริกซ์ในรูปทั่วไป
• ประเภทของเมทริกซ์ที่ควรรู้

เมทริกซ์ คืออะไร?

     “เมทริกซ์” คือ การเรียงจำนวนจริงให้เป็นแถว  โดยแต่ละแถวมีจำนวนๆ เท่าๆ กัน ภายใน ( ) หรือ [  ] แต่ละจำนวนในเมทริกซ์ จะเรียกว่า “สมาชิกของเมทริกซ์” เรียกแต่ละช่องในแนวนอนว่า “แถว” เรียกแต่ละช่องในแนวตั้งว่า “หลัก” และเรียกแถว X หลักว่า “มิติ” หรือ “ขนาด”  เช่น เมทริกซ์ A มีขนาด  m n จะหมายถึง เมทริกซ์ A มีจำนวน m แถว และมี n หลัก

ตัวอย่างของเมทริกซ์

กำหนดเมทริกซ์ A ดังนี้

เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ที่มี 3 แถว  และ  4 หลัก  จะได้ว่า  เมทริกซ์ A มีมิติ  3 4  โดยที่

• สมาชิกแถวที่ 1 หลักที่ 1 คือ   2     
• สมาชิกแถวที่ 1 หลักที่ 2 คือ   -1    
• สมาชิกแถวที่ 1 หลักที่ 3 คือ   2    
• สมาชิกแถวที่ 1 หลักที่ 4 คือ   2     
• สมาชิกแถวที่ 2 หลักที่ 1 คือ   2    
• สมาชิกแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือ   3   
• สมาชิกแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือ   0
• สมาชิกแถวที่ 2 หลักที่ 4 คือ   5
• สมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือ   2    
• สมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 2 คือ   2   
• สมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 3 คือ   -1
• สมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 4 คือ   3

นิยามของเมทริกซ์

1. การเรียกชื่อ เมทริกซ์ โดยปกติแล้วจะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่แทนชื่อเมทริกซ์  
2. สมาชิกของเมทริกซ์ที่เรียงกันอยู่ตามแนวนอน เรียกว่าสมาชิกที่อยู่ในแถว (row) ของเมทริกซ์    
3. สมาชิกของเมทริกซ์ที่เรียงกันอยู่ตามแนวตั้ง เรียกว่าสมาชิกที่อยู่ในหลัก (column) ของเมทริกซ์  
4. การบอกตำแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์ จะบอกโดยการระบุ แถวที่… และหลักที่… ตามลำดับ

การเขียนเมทริกซ์ในรูปทั่วไป

    การเขียนสัญลักษณ์แทนเมทริกซ์ในรูปทั่วไปจะใช้   A = [ a_{ij} ] m x n

โดยที่ a_{ij}  จะใช้แทนสมาชิกของ a ในหลักที่ i หลักที่ j

ตัวอย่างของการเขียนเมทริกซ์ในรูปทั่วไป

1. A  = 

          ดังนั้น A เป็นเมทริกซ์ที่มี 1 แถว 4 หลัก ดังนั้น A มีมิติ 1x4 หรือเป็นเมทริกซ์ 1x4

          มี a_{11}  = 2   a_{12}   = 5  a_{13}   = -3  a_{14}   = 1 

1. B  =  

          ดังนั้น B เป็นเมทริกซ์ที่มี 2 แถว 3 หลัก ดังนั้น B มีมิติ 23 หรือเป็นเมทริกซ์ 23

          มี a_{11}  = 1   a_{12}  = 1  a_{13}  = -3   ,  a_{21}  = 0   a_{22}  = -2  a_{23}  = 2

ประเภทของเมทริกซ์ที่ควรรู้

ประเภทของเมทริกซ์ที่พบได้บ่อย และควรรู้มีดังนี้

 

1.เมทริกซ์จัตุรัส (square matrix)

คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถว และหลักเท่ากัน หรือเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n

เช่น A = 

จะเห็นได้ว่า A เป็นเมทริกซ์ที่มี 2 แถว และ2 หลักเท่ากัน จึงเป็นเมทริกซ์จตุรัส  

 

2. เมทริกซ์ศูนย์ (zero matrix)

คือ เมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็น 0 ทั้งหมด ใชัสัญลักษณ์   = 0_{m x n}

เช่น 0_{2x3}  = 

 

3. เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (Upper triangular matrix)

คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 0 ส่วนตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าไรก็ได้  

เช่น 

4. เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Lower triangular matrix)

คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัวซึ่งอยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ  0 ส่วนสมาชิกที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักหรืออยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักจะมีค่าเท่าไรก็ได้

เช่น

 

5. เมทริกซ์เฉียง (Diagonal matrix) 

คือ  เมทริกซ์จัตุรัส  ที่มีสมาชิกที่ไม่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก  โดยทุกตัวมีค่า เป็น  0  ทั้งหมด

เช่น

6. เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar matrix)

คือ  เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัวบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน     ส่วนสมาชิกอื่นที่เหลือมีค่าเป็น  0  ทั้งหมด

เช่น 

 

7. เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix)

คือ  เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัวบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเป็น  1  ส่วนสมาชิกอื่นที่เหลือมีค่าเป็น  0  ทั้งหมด  เราจะใช้ l_n แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติ  n x n

เช่น  l_3   = 

8. เมทริกซ์แบบแถว (Row matrix)

คือ เมทริกซ์ที่มีกี่หลักก็ได้ แต่ต้องมีเพียง 1 แถวเท่านั้น

เช่น 

 

9. เมทริกซ์แบบหลัก(Column matrix)

คือ เมทริกซ์ที่มีกี่แถวก็ได้ แต่ต้องมีเพียง 1 หลักเท่านั้น

เช่น A = 

 

    เป็นอย่างไรกันบ้างเอ่ย ดูแล้วอาจรู้สึกว่าเยอะและยากแต่หากทบทวนและฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอแล้ว พี่เชื่อว่าน้อง ๆ จะต้องทำได้แน่นอน และหวังว่าบทความนี้จะทำให้น้อง ๆ เข้าใจและสนุกกับเมทริกซ์กันมากขึ้นนะ

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand

 

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• “จินตคณิต” คืออะไร?
• ประเภทของ “จินตคณิต”
• “จินตคณิต” มีประโยชน์อย่างไรบ้าง?
• “จินตคณิต” เริ่มเรียนได้ตั้งแต่อายุเท่าไร?

“จินตคณิต” คืออะไร?

     “จินตคณิต” คือ กระบวนการเรียนรู้โดยใช้ตัวเลข,  ลูกคิด หรือนิ้วมือ เป็นสื่อในการเรียนการสอนเพื่อใช้ในการพัฒนาสมองทั้งซีกซ้ายและซีกขวา 

• สมองซีกซ้าย ควบคุมความเป็นเหตุเป็นผล การเรียนรู้ด้านภาษา, ตัวเลข, วิทยาศาสตร์, ตรรกศาสตร์, การคิด, การวิเคราะห์  ฯลฯ 
• สมองซีกขวา ควบคุมในด้านของอารมณ์, ดนตรี, ศิลปะ, ความจำ, ความคิดสร้างสรรค์ เป็นต้น 

    “จินตคณิต” จึงเป็นการเรียนที่ช่วยกระตุ้นสมอง และทำให้ผู้เรียนมีสมาธิมากขึ้นเนื่องจากได้ใช้เวลาจดจ่อกับสิ่งใดสิ่งหนึ่งในเวลาที่นานขึ้นกว่าปกติ เมื่อสมองได้รับการกระตุ้นอยู่เสมอก็จะช่วยให้สามารถเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ ได้ดียิ่งขึ้น เป็นผลให้ผู้เรียนมีผลการเรียนที่ดีขึ้นในทุกรายวิชาหลังได้เรียนจินตคณิต

ประเภทของ “จินตคณิต”

     การเรียนการสอนจินตคณิตหลัก ๆ จะเริ่มจากการให้ผู้เรียนเรียนรู้ตัวเลข หลังจากนั้นจะเริ่มฝึกการใช้นิ้วมือในการคำนวณพื้นฐานบวกลบไปจนถึงการคูณและการหารในระดับสูง เมื่อคำนวณโดยใช้นิ้วมือจนคล่องแล้ว จึงค่อยไปฝึกคำนวณโดยการใช้ลูกคิดและจินตการ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการออกแบบหลักสูตรการสอนของแต่ละสถาบัน

“จินตคณิต” มีประโยชน์อย่างไรบ้าง?

     การเรียน “จินตคณิต” มีประโยชน์มากมาย เช่น

1. พัฒนาสมองทั้งซีกซ้ายและซีกขวา 
2. สร้างความเข้าใจเรื่องจำนวนและตัวเลข
3. สร้างสมาธิ และการจดจ่อ
4. ช่วยในเรื่องของความจำ
5. พัฒนาทักษะการคำนวณโดยใช้จินตนาการ

เป็นต้น

     กล่าวได้ว่าการเรียน “จินตคณิต”  ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายเพื่อฝึกการคิดคำนวณ หากแต่เป็นการเรียนเพื่อพัฒนาและกระตุ้นสมอง เมื่อสมองทั้งสองซีกได้รับการกระตุ้นอย่างสม่ำเสมอ ก็จะช่วยให้น้อง ๆ สามารถเรียนรู้ศาสตร์ต่าง ๆ ได้ง่ายขึ้น ส่งผลไปถึงการคิดเลขเร็ว, ความฉลาดทางอารมณ์, การมีสมาธิจดจ่อ, การเรียนรู้ภาษา อีกทั้งยังช่วยให้น้อง ๆ มีผลการเรียนในวิชาต่าง ๆ ดีขึ้นด้วย

“จินตคณิต” เริ่มเรียนได้ตั้งแต่อายุเท่าไร?

    สามารถเริ่มเรียนจินตคณิตพื้นฐานได้ตั้งแต่ 3 ขวบเลย แต่ช่วงที่เหมาะสมที่สุดจะเป็นช่วงอายุ 6-12 ปี เนื่องจากเป็นวัยที่มีศักยภาพในการฝึกทักษะการคำนวณแบบจินตภาพได้ดี หากได้รับการฝึกฝนอย่างถูกวิธี 

    การเรียนจินตคณิตที่ดีควรจะเรียนแบบค่อยเป็นค่อยไปทีละขั้นตอน ไม่ควรเร่งจนเกินไป เพื่อให้สมองเกิดการพัฒนาได้อย่างเป็นธรรมชาติและมีประสิทธิภาพ

 

    เป็นอย่างไรกันบ้างเอ่ย เป็นอีกหนึ่งรูปแบบการเรียนที่น่าสนใจเลยใช่มั้ย?  เพราะไม่เพียงแต่ช่วยในด้านการคำนวณเท่านั้น แต่ยังช่วยดึงศักยภาพของสมองทั้งสองซีกออกมาได้อย่างเต็มที่อีกด้วย

    สำหรับน้อง ๆ คนไหนที่กำลังมองหาที่เรียนพิเศษ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand

 

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• ตรีโกณมิติ คืออะไร?
• การนิยาม “อัตราส่วนตรีโกณมิติ”
• “อัตราส่วนตรีโกณมิติ” ของมุมที่พบได้บ่อย
• ตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ คืออะไร?

    “ตรีโกณมิติ” เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม, รูปสามเหลี่ยม  และฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยมีที่มาจากภาษากรีกคำว่า trigonon = มุม 3 มุม และ metro = การวัด 

    “ตรีโกณมิติ” มีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในลักษณะของคาบ การนิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถทำได้โดยใช้อัตราส่วนของทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย นอกจากด้านคณิตศาสตร์แล้ว ตรีโกณมิติยังถูกนำไปใช้อธิบายทฤษฎีในศาสตร์อื่น ๆ อาทิ ดาราศาสตร์, วิศวกรรมศาสตร์, ดนตรี อีกด้วย

การนิยาม “อัตราส่วนตรีโกณมิติ”

    เริ่มจากการพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม A เป็นมุมแหลม และมีมุม C เป็นมุมฉาก ถ้าเราพิจารณามุม A ที่ไม่ใช่มุมฉาก เราจะพบว่า sin A, cos A, และ tan A เป็นค่าที่เกี่ยวข้องกับความยาวด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเรียกว่า “อัตราส่วนตรีโกณมิติ” สำหรับ cosec, sec และ cot จะเป็นส่วนกลับของ sin, cos และ tan

   อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A เป็นค่าคงที่เสมอ และจะใช้สัญลักษณ์ sin A แทนไซน์ของมุม A, cos A แทนโคไซน์ของมุม A, และ tan A แทนแทนเจนต์ของมุม A 

• ข้าม = ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A
• ฉาก = ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ชิด = ความยาวของด้านประชิดมุม A

“อัตราส่วนตรีโกณมิติ” ของมุมที่พบได้บ่อย

    ในการศึกษาตรีโกณมิติในระดับพื้นฐาน น้อง ๆ จะได้รู้จักกับอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาด 30 องศา, 45 องศา และ 60 องศา ซึ่งเป็นมุมที่สามารถพบได้บ่อย 

    โดยอัตราส่วนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาดมุมเท่ากันจะมีค่าเท่ากัน น้อง ๆ สามารถดูอัตราส่วนตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาดมุมต่าง ๆ ตามตารางได้เลย

ตัวอย่างโจทย์ “ตรีโกณมิติ”

    หลังจากได้ทำความรู้จักหลักการของตรีโกณมิติกันพอสังเขปแล้ว ลองมาดูโจทย์จริง ๆ กันบ้างดีกว่า 

จงหาค่าของ a จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

 

    เป็นอย่างไรกันบ้างเอ่ย ดูแล้วอาจรู้สึกว่ายากแต่หากทบทวนและฝึกทำโจทย์เป็นประจำแล้ว พี่เชื่อว่าน้อง ๆ จะต้องทำได้แน่นอน และหวังว่าบทความนี้จะทำให้น้อง ๆ เข้าใจและสนุกกับตรีโกณมิติกันมากขึ้นนะ

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand

 

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คืออะไร?
• ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
• ตัวอย่างโจทย์ทฤษฎีพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คืออะไร?

    ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือ ทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งตั้งฉาก 90 องศา เป็นทฤษฎีที่คิดค้นโดยพีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก  ซึ่งกล่าวถึงทฤษฎีนี้ไว้ว่า

“ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น”

    ทฤษฎีนี้ ถือเป็นพื้นฐานสำคัญในการนำไปปรับใช้และคำนวณในโจทย์ประยุกต์ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะเรื่องตรีโกณมิติ

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

    เพื่อให้น้อง ๆ เห็นภาพของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกันมากขึ้น โดยพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สามารถเขียนแทนสมการได้เป็น  a² + b² = c²  โดย 

• ด้าน ab เป็น ด้านตรงข้ามมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม c แทนด้วยความยาว c
• ด้าน ac เป็น ด้านประชิดมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม b แทนด้วยความยาว b
• ด้าน bc เป็น ด้านประชิดมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม a แทนด้วยความยาว a

     ซึ่งหากทราบความยาวของมุม 2 ด้าน จะสามารถหาความยาวของด้านที่ 3 ได้ทันที โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการคำนวณ เขียนเป็นสมการได้ดังนี้

• กรณีที่ทราบความยาวของด้านประชิดมุมฉาก a และ b จะสามารถหาค่าของ c ได้ ดังนี้

           

• กรณีที่ทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c และด้านประชิดมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง a หรือ b จะสามารถหาค่าของด้านที่เหลือได้ ดังนี้

             

ตัวอย่างโจทย์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

    หลังจากได้ทำความรู้จักหลักการของทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว ลองมาดูโจทย์จริง ๆ กันบ้างดีกว่า 

จงหาความยาวด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

 

วิธีทำ

       จากภาพ a=4 , b=3 จงหาค่าของ c

       จะได้ว่า     c²      =       4² +  3²

                       c²      =      (4 x 4) + (3 x 3)

                       c²      =      16 + 9

                       c²      =      25

                       c²      =      5²

ดังนั้น              c        =      5

 

ตอบ   c ยาว 5 หน่วย

 

    เป็นอย่างไรกันบ้าง พอดูแล้วก็ไม่ยากอย่างที่คิดใช่ไหมเอ่ย?  หวังว่าบทความนี้จะทำให้น้อง ๆ เข้าใจและสนุกกับคณิตศาสตร์กันมากขึ้นนะ

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand

 

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• ตรรกศาสตร์ คืออะไร?
• ประพจน์ คืออะไร?
• ตัวเชื่อมประพจน์ คืออะไร?
• ตัวบ่งปริมาณ คืออะไร?
• การอ้างเหตุผล คืออะไร?

ตรรกศาสตร์ คืออะไร?

    ตรรกศาสตร์ คือ ศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับความคิดและการใช้เหตุผล โดย “ตรรกะ” หมายถึง การคิดโดยใช้เหตุผล และ “ศาสตร์” หมายถึง วิชาความรู้ 

    ตรรกศาสตร์ ถือเป็นพื้นฐานที่สำคัญในการค้นหาเหตุผล หรือการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆโดยใช้หลักการคิดอย่างมีเหตุผลจึงถือเป็นพื้นฐานสำคัญในหลายสาขาวิชาอีกด้วย ไม่เฉพาะแต่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น 

ประพจน์ คืออะไร?

    ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่แสดงความเป็นจริง(True) หรือเป็นเท็จ(False) อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น

• วาฬเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม 

เป็นประพจน์ที่มีค่าความเป็นจริง (T)

• 1+1 = 3 

เป็นประพจน์ที่มีค่าความเป็นเท็จ (F)

• เขาเป็นบุคคลที่มีชื่อเสียง 

ไม่เป็นประพจน์ เนื่องจากประโยคนี้เป็นประโยคเปิด ซึ่งเป็นประโยคที่มีตัวแปร ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จจนกว่าจะแทนค่าในตัวแปร 

ตัวแปรในประโยคนี้คือ “เขา” ซึ่งไม่สามารถระบุได้ว่าเป็นใคร แต่หากแทนค่า “เขา” ด้วย “ธงไชย แมคอินไตย์” จะทำให้ประโยคนี้กลายเป็นประพจน์ที่มีค่าความเป็นจริง (T)

    ประพจน์นิยมเขียนแทนค่าด้วยตัวพิมพ์เล็กเป็น p,q,r,s

ตัวเชื่อมประพจน์ คืออะไร?

    ตัวเชื่อมประพจน์ ใช้ในการเชื่อมประพจน์เข้าด้วยกัน โดยในทางตรรกศาสตร์แบ่งออกเป็น 4 ประเภท ดังนี้

1. ตัวเชื่อม “และ” (and) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “∧”
   เช่น p∧q จะหมายถึง p และ q 
2. ตัวเชื่อม “หรือ” (or) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “∨”
   เช่น p∨q จะหมายถึง p หรือ q
3. ตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว” (If…then) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “→”
   เช่น p→q จะหมายถึง ถ้า p แล้ว q
4. ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” (if and only if) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “↔”
   เช่น p↔q จะหมายถึง p ก็ต่อเมื่อ q

ตัวบ่งปริมาณ คืออะไร?

    ตัวบ่งปริมาณ คือ ตัวที่ใช้แทนค่าในประโยคเปิดซึ่งเป็นประโยคที่ไม่ทราบค่าหรือตัวแปรเพื่อให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ได้ ในทางตรรกศาสตร์ มี 2 ตัว คือ 

1. ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว (for all)  แทนด้วยสัญลักษณ์ ∀ 
   เช่น ∀x จะหมายถึง สำหรับ x ทุกตัว
2. ตัวบ่งปริมาณสำหรับบางตัว (for some) แทนด้วยสัญลักษณ์ ∃   
   เช่น ∃x จะหมายถึง สำหรับ x บางตัว

การอ้างเหตุผล คืออะไร?

    การอ้างเหตุผล คือ การใช้เหตุซึ่งอาจมีหลายเหตุมาอ้างเพื่อให้เกิดผล แล้วดูว่าสมเหตุสมผล (Valid) หรือไม่สมเหตุสมผล (Invalid) การอ้างเหตุผล ประกอบด้วย 

• เหตุ คือ เหตุที่ถูกกำหนดมาให้ แทนด้วยสัญลักษณ์ P1,P2,P3,…Pn

• ผล คือ ผลสรุปจากเหตุ แทนด้วยสัญลักษณ์ Q

    การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผล (valid) หรือ ไม่สมเหตุสมผล (invalid) ทําได้โดยการนําเหตุ เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม“และ” แล้วใช้ตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว” เชื่อมระหว่างเหตุกับผล คือการนำเหตุมาเชื่อมกันด้วย ∧ และนำ → มาเชื่อมกับผลนั่นเอง เช่น

• ตรวจสอบ (P1∧P2∧P3∧…∧Pn) → Q หากเป็นสัจนิรันดร์จะถือว่าการอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid) 
• หากไม่เป็นสัจนิรันดร์จะถือว่าการอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

    นี่เป็นเพียงบางส่วนของตรรกศาสตร์เท่านั้น ในการเรียนจริงน้อง ๆ จะได้พบกับความน่าสนใจของตรรกศาสตร์อีกมากเลย
หวังว่าบทความนี้จะทำให้น้อง ๆ เข้าใจและชอบตรรกศาสตร์กันมากขึ้นนะ

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand

 

เลือกอ่านเนื้อหาที่ต้องการ

• เซต คืออะไร?
• ชนิดของเซตมีอะไรบ้าง?
• เอกภพสัมพัทธ์คืออะไร?
• แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์คืออะไร?

เซต คืออะไร?

     เซต (Set) คือ คำที่ใช้เรียกวัตถุหรือสิ่งของที่รวมกันเป็นกลุ่มหรือชุด เรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า “สมาชิก” โดยเมื่อกล่าวถึงเซตใดจะสามารถระบุสมาชิกที่อยู่หรือไม่อยู่ในเซตนั้นได้ เช่น 

• เซตของเดือนใน 1 ปี มีสมาชิก คือ เดือนมกราคม – เดือนธันวาคม เป็นต้น 

    การเรียนเรื่องเซตจะช่วยในการจำแนกสิ่งต่าง ๆ ออกเป็นกลุ่มอย่างเป็นระบบ อีกทั้งยังเป็นเรื่องที่แทรกอยู่ในเนื้อหาบทอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์อีกด้วย จึงทำให้หากเข้าใจเรื่องเซตก็จะช่วยให้ต่อยอดการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นได้

ชนิดของเซตมีอะไรบ้าง?

    เซต แบ่งออกเป็น 2 ชนิด ดังนี้

1.เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มบวกและสามารถระบุจำนวนได้ เช่น 

• เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5 = {1, 2, 3, 4, 5}
  เซตนี้มีสมาชิกทั้งหมด 5 ตัว สามารถระบุจำนวนได้จึงเป็น “เซตจำกัด”
• เซตของสีรุ้ง = {“สีม่วง”, “สีคราม”, “สีน้ำเงิน”, “สีเขียว”, “สีเหลือง”, “สีแสด”, “สีแดง”}
  เซตนี้มีสมาชิกทั้งหมด 7 ตัว สามารถระบุจำนวนได้จึงเป็น “เซตจำกัด”
• เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เขียนแทนด้วย  { } หรือ ∅ เช่น  เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กัน 2 โดยเซตว่างจัดอยู่ในกลุ่มเดียวกันกับเซตจำกัด

 

2.เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด กล่าวคือมีจำนวนสมาชิกไม่จำกัดหรือไม่สามารถระบุจำนวนสมาชิกได้ เช่น 

• เซตของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด = {1,2,3,4,5,…}
• เซตของตัวเลขคี่ = {1,3,5,7,…}

เอกภพสัมพัทธ์คืออะไร?

    เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่าจะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น โดยไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ ซึ่งจะใช้สัญลักษณ์ 𝒰 แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์

    สัญลักษณ์ที่ใช้ในเอกภพสัมพัทธ์ที่พบบ่อย เช่น 

• ℕ คือ เซต ของจำนวนนับ หรือ จำนวนเต็มบวก 
• ℤ คือ เซตของจำนวนเต็ม 
• ℝ คือ เซตของจำนวนจริง

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์คืออะไร?

    แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คือ แผนภาพที่ใช้แสดงแทนเซตเพื่อให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างเซตและใช้แก้ปัญหาเรื่องเซตได้ง่ายขึ้น โดยสามารถใช้รูปภาพใดแทนก็ได้ เช่น รูปสามเหลี่ยม, รูปสี่เหลี่ยม, รูปวงกลม หรือรูปวงรี แต่มักใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเอกภพสัมพัทธ์ แล้วเขียนแทนเซตในเอกภพสัมพัทธ์ด้วยรูปวงกลม

 
หวังว่าบทความนี้จะทำให้น้อง ๆ เจ้าใจเรื่องเซตกันได้มากขึ้นนะ

    ส่วนใครที่กำลังมองหาที่ติวคณิตศาสตร์ หรือมีข้อสงสัยเพิ่มเติมก็มาปรึกษาพี่ TUTOR VIP ได้นะ พี่ ๆ ยินดีให้คำปรึกษาเสมอ

   บทความต่อไป TUTOR VIP จะมาแนะนำอะไรอีกนั้น ฝากติดตามกันด้วยนะ

 

ด้วยความร่วมมือของ TUTOR-VIP X Clearnote Thailand